§7.3 万有引力定律

§7.3  万有引力定律

【学习目标】

1.       了解万有引力定律得出的思路和过程。

2.       理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。

3.       理解地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，即服从平方反比定律的万有引力，记住引力常量G并理解其内涵。

【知识梳理】

1.自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成___________，与它们之间距离r的二次方成___________，即___________。

2.两个质量均为50kg的人，相距100m，则他们间的相互吸引力约为___________。每人所受重力为___________。（引力常量G＝6.67×10^－11N·m²/kg²,重力加速度g取10m/s²）

3.引力常量是英国物理学家___________在实验室里通过几个___________之间的万有引力的测量，比较准确地得出的。

【小试身手】

1.关于万有引力，下列说法正确的是（   ）

A．牛顿把地球表面的动力学关系应用于天体，发现了万有引力定律

B．开普勒等科学家对天体运动规律的研究为万有引力定律的发现作了准备

C．只有天体之间才有万有引力

D．太阳对行星的引力就是行星绕太阳旋转的向心力

2.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个半径是小球半径2倍的实心小铁球靠在一起，则它们之间的万有引力为（   ）

A．2F          B．4F         C．8F          D．16F

3.下列关于万有引力定律的说法正确的是（    ）

A．万有引力定律是牛顿发现的

B． 中G是一个比例常数，是有单位的

C．万有引力定律适用于质点间的相互作用

D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用 来计算，r是两球体球心间的距离

4.设想把一个质量为m的物体放在地球中心，这时它受到地球对它的万有引力为（    ）

A．零          B．mg          C．无穷大        D．无法确定

【基础训练】

例1  设地球表面重力加速度为g₀，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g₀为（ ）

A. 1           B. 1/9          C. 1/4         D. 1/16

分析：本题考查万有引力定律的简单应用。地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：

地面上： ₀                ①

离地心4R处：           ②

由①②两式得

答案：D

例2  中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？(引力常数G＝6.67×10^－11N· m²/kg²，计算时星体可视为均匀球体)

分析：本题中的中子星认为是孤立的，即不受其他天体的吸引，只考虑中子星绕中心轴自转。在中子星的赤道上的物体随中子星的自转而做匀速圆周运动，万有引力提供了该物体做圆周运动的向心力。只有万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需要的向心力时，中子星才不会瓦解。

解：设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m，则有：

          ①

又知              ②

中子星质量    ③

由以上各式得出密度

代数数据解得：ρ＝1.27×10¹⁴ kg/m³

答案：1.27×10¹⁴ kg/m³

5.一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇船员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的（    ）

A.0.25倍         B.0.5倍          C.2.0倍          D.4.0倍

6.两个行星的质量分别为m₁和m₂，绕太阳运行的轨道半径分别为r₁和r₂,若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为（    ）

A.1         B.          C.           D.        

7.月球表面的重力加速度为地球表面上重力加速度的 ，一个质量为600千克的飞行器到达月球后（重力加速度g取10m/s² ），则下列说法正确的是（    ）

A.在月球上的质量仍为600千克

B.在月球表面上的重量为1000牛顿

C.在月球表面上的高空中重量小于1000牛顿

D.在月球上的质量将小于600千克

A.线速度大小关系为

B.周期大小关系为

C.向心加速度大小关系为

D.向心力大小关系为

【举一反三】

9. 假设火星和地球都是球体,火星的质量M_火与地球的质量M_地之比M_火/M_地=p，火星的半径与地球的半径之比R_火/R_地=q，求它们表面处的重力加速度之比。

10.假设地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来（完全失重）。试估算一下，此时地球上的一天等于多少小时？（地球半径取6.4×10⁶m,g取10m/s²）

【名师小结】

1.万有引力定律的内容是：自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，表达式为 ，G为引力常量  G＝6.67×10^－11N·m²/kg²。

2.万有引力定律的公式只适用于计算质点的相互作用，但两个质量分布均匀的球体间的相互作用可用万有引力定律公式计算，式中的r是两个球体球心间的距离，另外一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用同一公式计算。

第三节  万有引力定律

详解：

4．分析：地球各个部分对此物体都有引力，它们相互平衡，故质量为m物体受合力为零。

5．分析：

6．分析：万有引力提供向心力 ，所以 。

故  。

7．分析：物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，故A对、D错；由题意知，物体在月球表面上受力为地球表面上受力的1／6,即 ,故B对；由 知，r增大时，引力F减小，故C对。

9.分析：题中没有涉及地球的自转及火星的自转，因而物体在火星和地球表面所受重力可近似看作等于火星或地球对物体的万有引力。

即：             即

则火星和地球表面的重力加速度之比为

10．分析：物体刚要“飘”起来时，还与地球相对静止，其周期等于地球自转周期，此时物体只受重力作用，物体“飘”起来时，半径为R_地

根据万有引力定律：

得：