§7.4 万有引力理论的成就
【学习目标】
1. 了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2. 会用万有引力定律计算天体的质量。
3. 理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法。
【知识梳理】
1.科学真是迷人
如果______________的影响，地面上质量为m的物体受到重力等于__________，即mg=______________，由此得地球的质量表达式为______________。已知g=10m/s2, R=6371km, G=6.67×10-11N·m2/kg2,则地球的质量约为______________kg。
2.计算天体的质量
（1）计算太阳的质量：将______________的运动近似看作匀速圆周运动，向心力由______________提供，其牛顿第二定律方程是______________，由此得太阳的质量为______________。
（2）测量天体质量的主要方法是______________。
3.发现未知天体
海王星是在______年____月____日发现的，发现过程是：发现________的实际运动轨道与______________的轨道总有一些偏差，根据观察到的偏差数据和万有引力定律计算出______________，并预测可能出现的时刻和位置；在预测的时间去观察预测的位置。
海王星与冥王星发现的重要意义在于___________________________________。
【小试身手】
1.下面说法正确的是（ ）
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
2.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要（ ）
A．测定飞船的运动周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运动速度
3. 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比M日/M地为（ ）
A． B． C． D．
4.若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则由此可求出（ ）
A．行星的质量 B．太阳的质量
C．行星的密度 D．太阳的密度
【基础训练】
例1 某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明ρT2为一个常数。
分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。
解:设半径为R，则密度ρ与质量M、体积V的关系为
对卫星，万有引力提供向心力
由 ，得
整理得 为一常量。
例2 地球半径R＝6400km，地面的重力加速度g＝9.8m/s2,地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，试估算地核的平均密度。
解：不计地球自转的影响，地球对物体的引力即为物体的重力，即
，所以，地球的质量为：
地球的平均密度为：
设地核的质量为M´,体积为V´，平均密度为ρ´，则
所以，地核的平均密度为
5.地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是（ ）
A． B． C． D．
6.由于地球的自转，下列说法中正确的是（ ）
A．物体所需向心力随其所在位置的纬度的增大而减小
B．物体所需的向心力就等于地球对它的引力
C．物体所需的向心力就等于物体所受的重力
D．物体所需的向心力由物体本身质量决定，与其它因素无关
7. 组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，则星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比( )
A.地球与月球间的万有引力将变大
B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运动的周期将变长
D.月球绕地球运动的周期将变短
9. 高空遥感探测卫星在距地球表面高为h处绕地球转动，如果地球质量为M，地球半径为R，人造卫星质量为m，万有引力常量为G，试求：
（1）人造卫星的线速度多大？
（2）人造卫星绕地球转动的周期是多少？
（3）人造卫星的向心加速度多大？
【名师小结】
万有引力定律应用图表
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项目 |
内容 |
说明或提示 |
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研究天体
运动的应用公式 |
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研究天体运动时，太阳系中的八大行星及其卫星的运动都可以看作匀速圆周运动．它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引力． |
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测天体质量M
或天体密度ρ |
① 天体质量M＝
② ②天体密度：ρ＝ ＝
＝
若卫星在天体表面运行，则r＝R，而有：ρ＝ |
把卫星的运动看成匀速圆周运动．通过测出天体的卫星的环绕周期、轨道半径，则可推算出天体的质量及天体的密度．特别是卫星在天体表面环绕时，只要测出其环绕周期，就可以测出天体的密度． |
|
研究天体表面物体重力的应用公式 |
mg＝
例如对月球表面物体的“重力”：mg月＝ ，
这里忽略了地球对月球表面物体的万有引力．其余天体上的物体的“重力”照此类推． |
①已知r月轨＝60R地，可求出：g月轨＝2.7×10－3 m/s2．
②已知M月/M地＝1/81，
R月/R地＝1/3.8可求出：
g月＝1.74 m/s2＝g地/6
可见，地球在月球轨道处产生的重力加速度远小于月球对其表面物体产生的重力加速度．所以在月球上，地球对物体的万有引力可以忽略，而只考虑月球对物体的万有引力作用． |
第四节 万有引力理论的成就
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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答案 |
ACD |
A |
A |
B |
A |
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题号 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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答案 |
A |
AD |
D |
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详解：
2．分析：取飞船研究，由 及 知， , 故A对。 3．分析：地球绕太阳公转时，有 ，月球绕地球公转时有
，由此得 。 答案A。
4．分析：由万有引力定律和向心力公式可得： ，∴ 。因为太阳半径未知，因此只可求出太阳的质量，即中心天体的质量，故答案应选B。
5．分析：重力等于万有引力 ， ，可得：
7．分析：当物体在该星球表面，万有引力恰好充当向心力时，由牛顿定律可得：
，∴ 。
又∵ ,代入上式可得： 。
故答案应选A、D。
8．分析：月球与地球间的万有引力为 ,
由题意m月＋m地=常量，而m地>m月,当m月减小，m地增加时，其乘积m月m地减小，所以选B正确。
由 得： ，所以T减小，选项D正确。
9．解:（1）对卫星，有
解得卫星线速度 。
（2）由 得：
运行周期 。
（3）由于
故向心加速度
答案：（1） （2）
（3）
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