从2017年江苏高考第13题谈Sketchpad应用案例
【著 者】 徐州市第二中学 张 磊
Sketchpad是高中数学教师常用的教学软件之一，它在图形描述、变量追踪、动态演示上有着巨大优势。Sketchpad5.06加入了更多可用工具，使得教师在应用时更得心应手。它对系统要求很低：PC486以上兼容机、4M以上内存、Windows3.X或Windows95均可安装使用，随着时间推移2017年甚至推出了Win7/Windows 8专版，这也让教学过程中的“数形结合”更容易实现。
本文就以2017年江苏高考第13题所涉及的“直线与圆”为例，利用Sketchpad的图形功能，结合教学实录，就我们今后的解析几何教学时如何更好利用Sketchpad辅助教学，谈一谈自己的一些想法。
【关键词】Sketchpad 2017江苏高考 直线与圆
【正文】
2017年江苏高考对解析几何部分知识考查落在第13题——关于“直线和圆”两个C级考点的基础知识与基本技能，较往年难度和运算量有明显下降。
本文是在6月份新高三学生一轮复习时讲授2017年江苏高考第13题时的课堂案例实录。因题中涉及的点、线、圆以及向量的数量积不够直观，涉及到的不等关系较为复杂，学生直接解答并不容易。所以，我就利用Sketchpad软件直观地构造出较为复杂的数学图形和动画，通过对其变换、度量、计算和跟踪生成轨迹等方式，为教师和学生提供一个讨论“直线与圆”问题内在关系的教学案例。
在平面直角坐标系中,, 点在圆:上,若,则点的横坐标的取值范围是 .
【答案】
【解析及Sketchpad辅助设计指导】
本题所求是满足条件的点的横坐标取值范围，我们可以构造关于其的不等关系进行求解。
设，则，，
［Sketchpad辅助设计］在Sketchpad中可以建立平面直角坐标系，在轴、轴分别标记、，同时构造以为圆心，半径的圆，生成有向线段、.
由，计算与的数量积，=
=，①
上式对应圆:及其内部.再结合题干中点的位置，满足，圆与圆相交于、两点，点的运动轨迹应该在劣弧上.
［Sketchpad辅助设计］在Sketchpad中构造以为圆心，半径为的圆,其与圆相交，生成交点、.则劣弧则是所求点运动的轨迹.
联立圆:与圆
解得、，同时注意到点运动到1时，横坐标最小，
易得点1坐标为，综上点横坐标得取值范围是.
［Sketchpad辅助设计］过劣弧上点，作轴垂线，并度量点得横坐标，计算并追踪得取值范围.
另外，在联立求解时，可以把②直接代入①，
得到，它表示直线上方得部分.
由，可得、，
由题意，得点在劣弧上,结合限制条件 ，同样可得点横坐标的取值范围为.
［Sketchpad辅助设计］绘制直线:，选择直线上方点构造表示得区域，与圆相交部分为劣弧，则点在其上运动.度量出点横坐标得取值范围即可.
2017年江苏高考第13题主要考查了直线与圆(圆与圆)的相交问题，是解析几何中常见题目。而问题中探求点的轨迹更是平面解析几何研究的重要问题之一，一直以来都是高中学生难以理解和掌握的内容。传统教学中，学生只能手工画出动点轨迹的草图或在头脑中简单地想象，轨迹的精准性、完备性往往难以把握，手工画图常使学生、教师在解题思考时，考虑得不够完整全面，遗漏了动点的特殊位置以及动点运动的多种情形，从而造成轨迹的遗漏和不完整。借助Sketchpad，可以直观、动态地描绘出运动轨迹的形成过程，帮助学生认识轨迹的本质特征，有助于学生从中获得解决问题方法。该案例从题干给出得相关方程出发，准确地画出其对应的图形，突出了Sketchpad较之其他数学软件最大的优势——几何图形的动态化、“形”与“数”的同步化和操作的简单直观化。
笔者在平面解析几何课程教学过程中，结合Sketchpad的优势和高三同学的认知特点，有针对性地设计了大量的教学案例，并借助这些教学案例所创设的问题情境展开教学活动，充分调动了学生在操作中观察、在探索中思考、在合作中交流，不仅点燃了学生的学习热情，而且克服了传统教学中的不足，有效地促进了学习活动的开展。这些案例讨论Sketchpad在平面解析几何教学中数学概念的形成、数学定理的发现与验证、数学问题解决过程中的应用一窥，值得借鉴。
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